Завдання: Найдіть найменше значення параметра \(a\), при якому рівняння \(2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = \frac{4}{(x-a)^2 - 6(x-a) + 13}\) має додатний корінь.
Рішення:
В задании нужно найти наименьшее значение параметра \(a\), я акцентирую на слове наименьшее, это говорит, что нужно искать экстремум функции, но так как мы ищем параметр \(a\), то это параметр и будет независимой переменной, а \(x\) - будет постоянной.
Схема решения задания:
1. Найдем найдем экстремум функции \(f(a)\). Для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю
$$(2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})})'_a = (\frac{4}{(x-a)^2 - 6(x-a) + 13})'_a => (\frac{4}{(x-a)^2 - 6(x-a) + 13})'_a = 0$$производная по параметру \(a\) функции \((2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})})'_a = 0\). Найдем производную дроби по формуле производной \((\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)$$\frac{0*((x-a)^2 - 6(x-a) + 13) - 4((x-a)^2 - 6(x-a) + 13)'}{((x-a)^2 - 6(x-a) + 13)^2} = 0$$$$\frac{- 4(2(x-a)(-1) + 6)}{((x-a)^2 - 6(x-a) + 13)^2} = 0 =>$$$$\frac{x-a - 3}{((x-a)^2 - 6(x-a) + 13)^2} = 0 => a = x-3$$
2. Найдем положительный корень. Для этого подставим полученное значение \(a = x-3\) в равенства и найдем \(x\)
$$2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = \frac{4}{(x-a)^2 - 6(x-a) + 13} =>$$ подставляем \(a = x-3\)
$$2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = \frac{4}{(x-x+3)^2 - 6(x-x+3) + 13} =>$$
$$2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = \frac{4}{9 -18 + 13} => 2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = 1 =>$$
$$2^{\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4})} = 2^0 =>$$$$\sin^2(2\pi x + \frac{5\pi}{4}) = 0 =>$$ синус равен 0 при \(\sin(x) =0 => x = \pi n, n \in Z\), получаем $$2\pi x + \frac{5\pi}{4} = \pi n => x = \frac{n}{2} - \frac{5}{8}$$ по условию , нам нудно найти положительный \(x\), т.е. $$\frac{n}{2} - \frac{5}{8} > 0 => \frac{n}{2} > \frac{5}{8} => n > \frac{5}{4}$$ т.к. \(n\) - целое число, то наименьшее целое, при котором выполняется это неравенство равно \(n =2\), получили $$x = \frac{n}{2} - \frac{5}{8} => x = \frac{2}{2} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$$ Получили положительный корень, теперь можно получить и \(a\) $$a = x-3 => \frac{3}{8} - 3 = -2,625$$
Відповідь: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & & - & 2& , &6 &2 &5 \\ \hline \hline \end{array} $$
