Пробне ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 27.

Завдання: Обчисліть \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}5 ctg(x) \sin(x) dx\).
Рішення: 
Проведем преобразования подынтегрального выражения \(ctg(x)\sin(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \sin(x) = \cos(x)\). Подставляем в формулу интеграла $$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}5 ctg(x) \sin(x) dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}5 \cos(x) dx = 5\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x) dx = $$ применяем формулу табличного интеграла косинуса \(\int \cos(x)dx = \sin(x) + C\) и
формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\)$$ = 5 \sin(x) |_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = 5(\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{6})) = 5(1 - \frac{1}{2}) = 2,5$$

Відповідь: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & & & 2& , &5 & & \\ \hline \hline \end{array} $$

  попереднє завдання № 26     наступне завдання № 28