Рассмотрим применения метода Гаусса при решении системы линейных уравнений на следующем примере:
Решить систему линейных уравнений \begin{cases} 3x_1+2x_2+2x_3+2x_4=2\\ 2x_1+3x_2+2x_3+5x_4=3\\ 9x_1+x_2+4x_3-5x_4=1\\ 2x_1+2x_2+3x_3+4x_4=5\\ 7x_1+x_2+6x_3-x_4=7\end{cases}
1. Составим расширенную матрицу системы, которая состоит из матрицы системы A - столбцы коэффициентов при неизвестных + столбец коэффициентов свободных членов b
(A|b) = \left(\begin{array}{c} 3& 2 & 2 & 2\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 9 & 1 & 4 &-5\\ 2 & 2 & 3 & 4\\ 7 & 1 & 6 &-1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 2\\ 3\\ 1\\ 5\\ 7 \end{array}\right.\right) =
2. Прямой ход. Приведем матрицу к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками полученной матрицы (A|b). В качестве ведущего элемента лучше взять элемент первого столбца с коэффициентом 1 или можно получить его, например, вычтим из первой строки вторую, получим =\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 9 & 1 & 4 &-5\\ 2 & 2 & 3 & 4\\ 7 & 1 & 6 &-1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\ 3\\ 1\\ 5\\ 7 \end{array}\right.\right) =
Получили ведущий элемент с единицей a_{11}=1. Теперь все элементы первого столбика ниже ведущего нужно привестри к нулю при помощи элементарных преобразований строк. Для этого умножим все элементы первой строки на 2 и вычтим из второй =\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\ 0 & 5 & 2 & 11\\ 9 & 1 & 4 &-5\\ 2 & 2 & 3 & 4\\ 7 & 1 & 6 &-1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\ 5\\ 1\\ 5\\ 7 \end{array}\right.\right) =
Далее из третьей вычтим первую, умноженную на 9, из четвертой вычтим первую, умноженную на 2, из пятой, умноженную на 7, получим =\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\ 0 & 5 & 2 & 11\\ 0 & 10 & 4 &22\\ 0 & 4 & 3 & 10\\ 0 & 8 & 6 & 20 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\ 5\\ 10\\ 7\\ 14 \end{array}\right.\right)=
Все эелементы 3-й и 5-й строк кратны 2, разделим эти строки на 2, получим =\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\ 0 & 5 & 2 & 11\\ 0 & 5 & 2 & 11\\ 0 & 4 & 3 & 10\\ 0 & 4 & 3 & 10 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\ 5\\ 5\\ 7\\ 7 \end{array}\right.\right)=
Получили две строки 2 и 3 с равными элементами. Вычтем из третьей строки вторую, получим строку с нулями и поменяем ее местами с последней стракой, аналогичные действия проведем с двумя одинаковыми строками 4 и 5 =\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\ 0 & 5 & 2 & 11\\ 0 & 8 & 6 & -20\\ 0 & 4 & 3 & 10\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\ 5\\ 14\\ 7\\ 0 \end{array}\right.\right)=
Даллее проводим теже действия для второго столбца. Выбираем ведущий элемент и приаодим его к единице a_{22}=1 \ne 0 для этого вычтем из второй строки четвертую =\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 4 & 3 & 10\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\ -2\\ 7\\ 0\\ 0 \end{array}\right.\right)=
а далее по известной методике все элементы во втором столбце ниже ведущего элемента приводим к 0. В третьей строке элемент a_{32} =4 можно привести к 0 путем вычетания второй строки, умноженной на 4=\left(\begin{array}{c} 1& -1 & 0 & -3\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 7 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1\\ -2\\ 15\\ 0\\ 0 \end{array}\right.\right)=
3. Обратный ход.
Сори. Блог закончу в ближайшее время!
