Рассмотрим метод решения системы линейных уравнений при помощи правила Крамера. На практике правило Крамера применяется в основном для решения систем 2-4 порядка, т.к. решение больших систем уравнений требует больших вычислительных ресурсов. Например, при решении системы из 3-х уравнений необходимо найти 4 определителя третьего порядка или после применения метода понижения порядка получим 12 определителей второго порядка, но если говорить о системе уравнений 4-го порядка, то тут уже все сложнее: 5 определителей 4-го порядка или уже 5*4*3 = 60 определителей второго порядка.
Приступаем к рассмотрению решения системы уравнений по правилу Крамера. Рассмотрим его на примере следующей системы уравнений $$\begin{cases}5x_1 + 8x_2 + x_3 = 7\\2x_1 + 3x_2 + 2x_3= 9\\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1\end{cases}$$
Решение: составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных. При этом, если какой-то из неизвестных в уравнении не хватает, то на ее месте в соответствующем столбике ставим 0. Получили $$A =\left(\begin{array}{c}5& 8 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)$$ Найдем определитель матрица \(A\), обозначается как \(Δ\). Если определитель \(Δ = det A \ne 0\) , то система имеет единственное решение, которое находится по формуле $$x_i = \frac{Δ_i}{Δ}$$ где \(i = 1,2, ... n\) , а \(Δ_i\) - определитель матрицы, полученный из матрицы системы путем замены \(i\) - го столбца столбцом свободных членов.
Находим определитель матрицы $$Δ = \det A =\left|\begin{array}{c}5& 8 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right| = -6$$ Определитель \(Δ =-6 \ne 0\), т.е. система имеет единственное решение. Найдем его:
Подставим вместо первого столбца столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы, это будет $$x_1 = \frac{1}{-6} *\left|\begin{array}{c}7& 8 & 1\\ 9 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$x_1 = \frac{1}{-6} (7*3*3+8*2*1+9*2*1 - 1*3*1-2*2*7-9*8*3) = \frac{-150}{-6} = 25$$
Подставим вместо второго столбца столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы, это будет $$x_2 = \frac{1}{-6} *\left|\begin{array}{c}5& 7 & 1\\ 2 & 9 & 2\\ 1 & 1 & 3\end{array}\right|$$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$x_2 = \frac{1}{-6} (5*9*3+7*2*1+1*2*1 - 1*9*1-1*2*5-2*7*3) = \frac{90}{-6} = -15$$
Подставим вместо третьего столбца столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы, это будет $$x_3 = \frac{1}{-6} *\left|\begin{array}{c}5& 8 & 7\\ 2 & 3 & 9\\ 1 & 2 & 1\end{array}\right|$$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$x_3 = \frac{1}{-6} (5*3*1+8*9*1+2*2*7 - 1*3*7-2*9*5-2*8*1) = \frac{-12}{-6} = 2$$ Получили три решения системы уравнений
Ответ: \(\left[\begin{array}{c}x_1=25 \\ x_2=-15 \\x_3 =2 \end{array}\right. \)
