Способы нахождения обратных матриц: с помощью метода Гаусса -Жордана.

Продолжаем рассматривать способы нахождения обратных матриц. В предыдущем блоге был рассмотрен первый способ: с помощью матрицы алгебраических дополнений. Сейчас рассмотрим второй способ: с помощью метода Гаусса -Жордана.

 

Алгоритм нахождения обратной матрицы
с помощью метода Гаусса-Жордана.

Для нахождения обратной матрицы будут использоваться злементарные преобразования матрицы. Очень часто этот способ оказывается более эффективным (менее трудозатратным) по сравнению с первым способом (с помощью матрицы алгебраических дополнений).

Суть алгоритма нахождения обратной матрицы с помощью метода Гаусса-Жордана.:

1. Составляем блочную матрицу $A|E$, приписав к данной матрице $A$ справа единичную матрицу того же порядка.

2. При помощи элементарных преобразований, выполяемыми над строками матрицы $(A|E)$ приводим ее левую часть к простейшему виду

$$\left(\begin{array}{c}E& 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$$ При этом блочная матрица приводится к виду $(\lambda|S)$, где $S$ - квадратная матрица, полученнная в результате преобразования из единичной матрицы $E$.

3. Если $\lambda = E$, то блок $S = A^{-1}$, если $\lambda \ne E$, то матрица $A$ - не имеет обратной, т.е. она вырожденная.

Рассмотрим алгоритм на примере:

Дана матрица

$$A =\left(\begin{array}{c}5& 8 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)$$ Найти обратную матрицу.

Решение: Действуем согласно описанного алгоритма.

1. Составляем блочную матрицу

$$(A|E) = \left(\begin{array}{c}5& 8 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right.\right)$$
2. Элементарными преобразованиями над строками приводим ее к простейшему виду $(E|A^{-1})$
Согласно метода Гаусса-Жордана нам необходимо выбрать ведущий элемент - будет элемент в первой строке - $a_{11}= 5$. Нам необходимо, чтобы он был равен $a_{11}= 1$. Для этого можно первую строку разделить на 5, но при этом получатся дробные члены, а это немного неудобно в расчетах, поэтому получим $a_{11}= 1$ сделав элементарные преобразования:
Умножаем третью стороку на 4 и вычитаем из первой $$\left(\begin{array}{c}1& 0 & -11\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & -4\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right.\right)$$
Умножаем первую стороку на 2 и вычитаем из второй $$\left(\begin{array}{c}1& 0 & -11\\ 0 & 3 & 24\\ 1 & 2 & 3\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & -4\\ -2 & 1 & 8\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right.\right)$$
Вычтем первую стороку из третьей $$\left(\begin{array}{c}1& 0 & -11\\ 0 & 3 & 24\\ 0 & 2 & 14\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & -4\\ -2 & 1 & 8\\ -1 & 0 & 5\end{array}\right.\right)$$
Теперь ведущим элементом будет $a_{22}=3$. Для удобства расчетов нужно, чтобы $a_{22}=1$, для этого вычтем из второй строки первую $$\left(\begin{array}{c}1& 0 & -11\\ 0 & 1 & 10\\ 0 & 2 & 14\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & -4\\ -1 & 1 & 3\\ -1 & 0 & 5\end{array}\right.\right)$$
Умножим вторую строку на 2 и вычтем из третьей строки $$\left(\begin{array}{c}1& 0 & -11\\ 0 & 1 & 10\\ 0 & 0 & -6\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & -4\\ -1 & 1 & 3\\ 1 & -2 & -1\end{array}\right.\right)$$
Ну а теперь проведем теже преобразования но только снизу вверх, но для начала  необходимо, чтобы $a_{33} = 1$, для этого разделим всю строку на -6 и получим $$\left(\begin{array}{c}1& 0 & -11\\ 0 & 1 & 10\\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & -4\\ -1 & 1 & 3\\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{array}\right.\right)$$
Третью строку умножаем на 10 и вычитаем из второй $$\left(\begin{array}{c}1& 0 & -11\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & -4\\ \frac{2}{3} & -\frac{7}{3} & \frac{4}{3}\\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{array}\right.\right)$$
Ну и последнее элементарное преобразование - умножм третью строку на 11 и сложим с первой строкой $$\left(\begin{array}{c}1& 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c}-\frac{5}{6}& \frac{11}{3} & -\frac{13}{6}\\ \frac{2}{3} & -\frac{7}{3} & \frac{4}{3}\\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{array}\right.\right)$$ В левой части блочной матрицы мы получили единичную матрицу, значит справа будет обратная матрица.

Ответ:

$$A^{-1} = \left(\begin{array}{c} -\frac{5}{6} & \frac{11}{3} & -\frac{13}{6}\\ \frac{2}{3} & -\frac{7}{3} & \frac{4}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$$

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью матрицы алгебраических дополнений.