Способы нахождения обратных матриц: с помощью матрицы алгебраических дополнений.

Пусть $A$ - квадратная матрица порядка $n$, матрица  $A^{-1}$  удовлетворяющая равенствам

$$A*A^{-1} = A^{-1}*A = E$$ называется обратной матрицей матрицы $A$, а матрица $A$ - называется обратимой, в противном случае необратимой. Матрица $E$ - единичная матрица.

Из определения следует, что если обратная матрица $A^{-1}$ существует, то она квадратная того же порядка, что и $A$. Однако не для всякой матрицы существует обратная. Если определитель матрицы $\det A = 0$, то для той матрицы не существует обратной. Это единственное условие для существования обратной матрицы.
Квадратная матрица, определитель которой равен 0 называется вырожденной (особой), в противном случае невырожденной (неособой).

Рассмотрим два способа нахождения обратных матриц:
1. Первый способ: с помощью матрицы алгебраических дополнений.
2. Второй способ: с помощью метода Гаусса -Жордана.

 

Алгоритм нахождения обратной матрицы
с помощью матрицы алгебраических дополнений.

1. Вычисляем определитель $\det A$ данной матрицы. Если $\det A = 0$, то обратной матрицы не существует (матрица $A$ вырожденная).
2. Составляем матрицу $A_{i,j}$ из алгебраических дополнений $A_{i,j} = (-1)^{i+j}M_{i,j}$ элементов матрица $A$.
3. Транспонируем матрицу $A_{i,j}$, получаем присоединенную матрицу $A^{+}= (A_{i,j})^T$.
4. Получаем обратную матрицу путем деления присоединенной матрицы на определитель $\det A$

$$A_{-1} = \frac{1}{\det A}A^{+}$$

Рассмотрим алгоритм на примере:

Дана матрица

$$A =\left(\begin{array}{c}5& 8 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)$$ Найти обратную матрицу.

Решение: Действуем согласно описанного алгоритма.
1. Вычисляем определитель данной матрицы используя правило треугольника

$$\det A = \left|\begin{array}{c}5& 8 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right| = 5*3*3 + 8*2*1 + 2*2*1 - 1*3*1 - 2*8*3 - 5*2*2 =  45 + 16 + 4 - 3 - 48 - 20 = -6$$ Получили $\det A \ne 0$, матрица невырожденная, т.е. имеет обратную. Продолжаем дальше.
2.находим алгебраические дополнения данной матрицы.
первая строка $$\begin{array}{c} A_{1,1} = (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{c}3 & 2\\ 2 & 3\end{array}\right| =9-4 = 5 & A_{1,2} = (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{c}2 & 2\\ 1 & 3\end{array}\right| = (-1)(2*3-2*1) = -4 & A_{1,3} = (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{c}2 & 3\\ 1 & 2\end{array}\right| = 2*2-3*1 = 1 \end{array}$$ вторая строка $$\begin{array}{c} A_{2,1} = (-1)^{2+1} \left|\begin{array}{c}8 & 1\\ 2 & 3\end{array}\right| = (-1)(8*3-2*1) = -22 & A_{2,2} = (-1)^{2+2} \left|\begin{array}{c}5 & 1\\ 1 & 3\end{array}\right| = 5*3-1*1 = 14 & A_{2,3} = (-1)^{2+3} \left|\begin{array}{c}5 & 8\\ 1 & 2\end{array}\right| = (-1)(5*2-8*1) = -2\end{array}$$ третья строка $$\begin{array}{c} A_{3,1} = (-1)^{3+1} \left|\begin{array}{c}8 & 1\\ 3 & 2\end{array}\right| = 8*2-3*1 = 13 & A_{3,2} = (-1)^{3+2} \left|\begin{array}{c}5 & 2\\ 1 & 2\end{array}\right| = (-1)(5*2-2*1) = -8 & A_{3,3} = (-1)^{3+3} \left|\begin{array}{c}5 & 8\\ 2 & 3\end{array}\right| = 5*3-8*2 = -1\end{array}$$
Составляем из них матрицу $$(A_{i,j}) = \left(\begin{array}{c}5 & -4 & 1\\ -22 & 14 & -2 \\ 13 & -8 & -1\end{array}\right)$$
3. Транспонируем матрицу $(A_{i,j})$, получаем присоединенную матрицу $$A^{+} = (A_{i,j})^T =  \left(\begin{array}{c}5 & -22 & 13\\ -4 & 14 & -8 \\ 1 & -2 & -1\end{array}\right)$$
4. Разделив присоединенную матрицу на определитель $\det A = -6$, получим обратную матрицу $$A^{-1} = \frac{1}{\det A}A^{+} = \frac{1}{-6}*\left(\begin{array}{c}5 & 22 & 13\\ -4 & 14 & -8 \\ 1 & -2 & -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\frac{5}{6} & \frac{11}{3} & -\frac{13}{6}\\ \frac{2}{3} & -\frac{7}{3} & \frac{4}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$$

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью метода Гаусса - Жордана.