Пусть \(A\) - квадратная матрица порядка \(n\), матрица \(A^{-1}\) удовлетворяющая равенствам $$A*A^{-1} = A^{-1}*A = E$$ называется обратной матрицей матрицы \(A\), а матрица \(A\) - называется обратимой, в противном случае необратимой. Матрица \(E\) - единичная матрица.
Из определения следует, что если обратная матрица \(A^{-1}\) существует, то она квадратная того же порядка, что и \(A\). Однако не для всякой матрицы существует обратная. Если определитель матрицы \(\det A = 0\), то для той матрицы не существует обратной. Это единственное условие для существования обратной матрицы.
Квадратная матрица, определитель которой равен 0 называется вырожденной (особой), в противном случае невырожденной (неособой).
Рассмотрим два способа нахождения обратных матриц:
1. Первый способ: с помощью матрицы алгебраических дополнений.
2. Второй способ: с помощью метода Гаусса -Жордана.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
с помощью матрицы алгебраических дополнений.
1. Вычисляем определитель \(\det A\) данной матрицы. Если \(\det A = 0\), то обратной матрицы не существует (матрица \(A\) вырожденная).
2. Составляем матрицу \(A_{i,j}\) из алгебраических дополнений \(A_{i,j} = (-1)^{i+j}M_{i,j}\) элементов матрица \(A\).
3. Транспонируем матрицу \(A_{i,j}\), получаем присоединенную матрицу \(A^{+}= (A_{i,j})^T\).
4. Получаем обратную матрицу путем деления присоединенной матрицы на определитель \(\det A\) $$A_{-1} = \frac{1}{\det A}A^{+}$$
Рассмотрим алгоритм на примере:
Дана матрица $$A =\left(\begin{array}{c}5& 8 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right) $$Найти обратную матрицу.
Решение: Действуем согласно описанного алгоритма.
1. Вычисляем определитель данной матрицы используя правило треугольника$$\det A = \left|\begin{array}{c}5& 8 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right| = 5*3*3 + 8*2*1 + 2*2*1 - 1*3*1 - 2*8*3 - 5*2*2 = 45 + 16 + 4 - 3 - 48 - 20 = -6$$ Получили \(\det A \ne 0\), матрица невырожденная, т.е. имеет обратную. Продолжаем дальше.
2.находим алгебраические дополнения данной матрицы.
первая строка$$\begin{array}{c}
A_{1,1} = (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{c}3 & 2\\ 2 & 3\end{array}\right| =9-4 = 5 &
A_{1,2} = (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{c}2 & 2\\ 1 & 3\end{array}\right| = (-1)(2*3-2*1) = -4 &
A_{1,3} = (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{c}2 & 3\\ 1 & 2\end{array}\right| = 2*2-3*1 = 1 \end{array}$$вторая строка$$\begin{array}{c}
A_{2,1} = (-1)^{2+1} \left|\begin{array}{c}8 & 1\\ 2 & 3\end{array}\right| = (-1)(8*3-2*1) = -22 &
A_{2,2} = (-1)^{2+2} \left|\begin{array}{c}5 & 1\\ 1 & 3\end{array}\right| = 5*3-1*1 = 14 &
A_{2,3} = (-1)^{2+3} \left|\begin{array}{c}5 & 8\\ 1 & 2\end{array}\right| = (-1)(5*2-8*1) = -2\end{array}$$третья строка$$\begin{array}{c}
A_{3,1} = (-1)^{3+1} \left|\begin{array}{c}8 & 1\\ 3 & 2\end{array}\right| = 8*2-3*1 = 13 &
A_{3,2} = (-1)^{3+2} \left|\begin{array}{c}5 & 2\\ 1 & 2\end{array}\right| = (-1)(5*2-2*1) = -8 &
A_{3,3} = (-1)^{3+3} \left|\begin{array}{c}5 & 8\\ 2 & 3\end{array}\right| = 5*3-8*2 = -1\end{array}$$
Составляем из них матрицу $$(A_{i,j}) = \left(\begin{array}{c}5 & -4 & 1\\ -22 & 14 & -2 \\ 13 & -8 & -1\end{array}\right)$$
3. Транспонируем матрицу \((A_{i,j})\), получаем присоединенную матрицу $$A^{+} = (A_{i,j})^T = \left(\begin{array}{c}5 & -22 & 13\\ -4 & 14 & -8 \\ 1 & -2 & -1\end{array}\right)$$
4. Разделив присоединенную матрицу на определитель \(\det A = -6\), получим обратную матрицу $$A^{-1} = \frac{1}{\det A}A^{+} = \frac{1}{-6}*\left(\begin{array}{c}5 & 22 & 13\\ -4 & 14 & -8 \\ 1 & -2 & -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\frac{5}{6} & \frac{11}{3} & -\frac{13}{6}\\ \frac{2}{3} & -\frac{7}{3} & \frac{4}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{array}\right) $$
Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью метода Гаусса - Жордана.
